W latach 1977–1994 był dyrektorem artystycznym National Symphony Orchestra w Waszyngtonie w USA, za co w 1978 roku pozbawiono go wraz z żoną Galiną Wiszniewską radzieckiego obywatelstwa oraz zakazano mu koncertów w kraju. Obywatelstwo radzieckie przywrócono artyście dopiero w 1990. W późniejszych latach Rostropowicz odwiedzał wielokrotnie Rosję, w Berlinie zagrał improwizowany koncert już w dobę po upadku Muru Berlińskiego i opowiedział się po stronie demokracji podczas puczu moskiewskiego w 1991.
Mstisław Rostropowicz uchodził za jednego z najwybitniejszych współczesnych wirtuozów wiolonczeli. W swym obszernym repertuarze uwzględniał także muzykę XX w. Jako dyrygent prowadził orkiestry operowe i symfoniczne. Współpracował z najwybitniejszymi kompozytorami XX wieku. Wielu z nich napisało utwory specjalnie dla niego; wśród nich: Witold Lutosławski (Koncert wiolonczelowy), Dmitrij Szostakowicz (dwa Koncerty wiolonczelowe), Siergiej Prokofjew (Koncert wiolonczelowy, Sonata na wiolonczelę i Symfonia-Koncert), Benjamin Britten (Symfonia na wiolonczelę i orkiestrę, Sonata wiolonczelowa i trzy Suity). Występował też jako pianista.
W 1981 został laureatem prestiżowej duńskiej Nagrody Fundacji Muzycznej Léonie Sonning. W 1984 otrzymał Nagrodę Grammy.