problem bazylejski), choć w tym przypadku również
Warunek Cauchy’ego Każdy ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego; zbieżność szeregu oznacza zbieżność ciągu sum częściowych
Oznacza to, że szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy .
Zbieżność bezwzględna Szereg nazywany jest zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg
Twierdzenie Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.
Dowód Załóżmy, że szereg jest zbieżny. Spełnia on wówczas warunek Cauchy’ego, tzn. dla każdej liczby istnieje taka liczba naturalna że dla oraz dowolnego
Z nierówności trójkąta wynika, że
a zatem szereg także spełnia warunek Cauchy’ego, więc jest zbieżny.
Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówi się wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo.