Niech będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek Dla każdej liczby zespolonej dla której istnieje taka liczba że
Dowód
przy czym Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona iż
czyli
Przyjmując otrzymuje się tezę.
Dowód zasadniczego twierdzenia algebry Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że i nie istnieje takie że Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień że minimum globalne jest przyjęte w kole dla pewnego Założyliśmy jednak, że jest zawsze większe od a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje takie, że co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie funkcja przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być
Zobacz też zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Abela-Ruffiniego
Przypisy
Bibliografia
Źródła historyczne
C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815