W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty: funkcje wielomianowe są ciągłe (na płaszczyźnie zespolonej); Twierdzenie Weierstrassa o kresach: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli jest przestrzenią zwartą, a jest rzeczywistą funkcją ciągłą na to istnieją takie punkty że
oraz
domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej są zwarte.
Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a Twierdzenie Liouville’a: ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.
Niech będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego istnieje takie że w zewnętrzu okręgu (inaczej mówiąc, dla ) spełniona jest nierówność Niech i będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.
Przypuśćmy, że wielomian nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. dla każdej liczby zespolonej Wówczas funkcja dana wzorem:
jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna.