Uwaga Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).
Historia Przed Gaussem dowody twierdzenia ogłaszało co najmniej sześciu innych matematyków: Jean Le Rond d’Alembert (1746); Leonhard Euler (1749); Daviet de Foncenex; Joseph Louis Lagrange (1772); Pierre Simon de Laplace (1812); James Wood.
Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. W 1799 roku Carl Friedrich Gauss podał większość pierwszego poprawnego dowodu. Jego wywód również zawierał lukę, choć bardziej subtelną. Gauss podał cztery różne dowody w ciągu swojego życia.