Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana (z normą ), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka dana wzorem
jest zupełna. Zupełność metryki oznacza, że każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni jest zbieżny (do pewnego elementu przestrzeni ).
Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe, stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w -tej potędze dla Norbert Wiener i Stefan Banach zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha () jako pierwszy użył Maurice Fréchet, honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach „przestrzeniami typu B”. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej.
Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta.