Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu jest warta wartość opcji jest razy mniejsza od spodziewanego zysku:
gdzie – cena akcji w chwili – jest zmienną losową.
Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu
jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym i średniej równej średniej stopie zwrotu z inwestycji na rynku –
Tak więc
gdzie jest sumą niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie w przybliżeniu normalnym, tak więc ma rozkład
Druga całka jest łatwa do policzenia – to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej i wariancji Musimy jednak przekształcić pierwszą do wygodniejszej postaci.
możemy standaryzować, odejmując średnią i dzieląc przez odchylenie standardowe w wyniku czego otrzymujemy zmienną o standardowym rozkładzie normalnym.
Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:
Zobacz też instrumenty pochodne model Blacka-Scholesa
Linki zewnętrzne Black-Scholes formula , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Matematyka finansowa Kategoria:Instrumenty pochodne