mały|250x250px|prawo|Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym Jest ona rzeczywista, ponieważ odpowiada zmiennej losowej symetrycznej względem zera. Ogólnie jednak funkcje charakterystyczne mogą przyjmować wartości zespolone.
Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się funkcję zadaną wzorem
gdzie:
– zbiory liczb rzeczywistych i zespolonych – jednostka urojona.
Jeżeli jest zmienną losową, a jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako
gdzie to wartość oczekiwana.
Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Istnieje dla każdej zmiennej losowej.
Funkcja charakterystyczna zmiennych ciągłych i dyskretnych Z definicji ogólnej, podanej we wstępie, wynikają następujące definicje szczegółowe:
(1) dla zmiennej losowej ciągłej o gęstości funkcja charakterystyczna jest transformatą Fouriera funkcji :
(2) dla zmiennej losowej dyskretnej o funkcji masy prawdopodobieństwa skupionej w punktach i wartościach funkcja charakterystyczna jest dana wzorem:
Przykład: Funkcja charakterystyczna rozkładu dwumianowego Rozkład dwumianowy ma dyskretny rozkład prawdopodobieństwa
gdzie,
gdzie:
, – symbol Newtona (współczynnik dwumianowy)