Od 1827 był docentem uniwersytetu w Christianii.

Jeszcze w szkole Abel podjął badania nad rozwiązaniem równań piątego stopnia przez pierwiastniki, następnie zainteresował się równaniami całkowymi i całkami eliptycznymi, które skierowały jego uwagę na funkcje eliptyczne. W 1824 podjął na nowo badania nad rozwiązalnością równań algebraicznych piątego stopnia i przy pomocy stworzonej niezależnie od Galois teorii grup udało mu się udowodnić, że w ogólnym przypadku równanie takie nie daje się rozwiązać przez pierwiastniki. Inne jego prace dotyczyły zbieżności szeregów liczbowych i potęgowych. W 1829 Uniwersytet Fryderyka Wilhelma w Berlinie zaproponował mu, w uznaniu jego zasług, objęcie katedry matematyki. Kilka dni po otrzymaniu tej wiadomości Abel zmarł na gruźlicę, która była skutkiem złych warunków życia w dzieciństwie i młodościAbel Niels Henrik, [w:] Oksfordzki słownik biograficzny, tłum. Bożenna Stokłosa, Piotr Kłossowicz, Warszawa 1999, s. 5..

Upamiętnienie W 2001 rząd Norwegii zdecydował o ustanowieniu Nagrody Abela, która jest przyznawana za najwybitniejsze osiągnięcia w dziedzinie matematyki.

Jego imieniem nazwano planetoidę (8525) Nielsabel, krater Abel na Księżycu i wyspę Abeløya w archipelagu Svalbard na Morzu Barentsa.

Dzieła Oeuvres complètes de N. H.